CÁLCULO

1.- Origen de la Derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat).
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos y el símbolo de la integral .

2.- Aplicaciones de la derivada

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones dentro de diferentes disciplinas:
MATEMÁTICAS:

TANGENTE. 

3. Un depósito contiene 1000 galones de agua que se drenan desde la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la tabla muestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en galones) una vez que transcurren f minutos. 

t (min)	5	10	15	20	25	30
v (gal)	694	444	250	111	28	0

1. Si P es el punto (15,250) en la gráfica V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto en la gráfica con t= 5,10,15,20,25 y 30. 
2. Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando las pendientes de dos rectas secantes. 
3. Use una gráfica de la función para estimular la pendiente de la recta tangente en P. ( esta pendiente representa la cantidad a la que fluye el agua desde el tanque después de 15 minutos).

	POR IZQUIERDA	POR DERECHA
	Q(5,694) (Q10,444)	Q(20,111) Q(25,8) Q (30,0)

a) IZQUIERDA

444-25010-15=-38.8

694-2505-15=-44.4

DERECHA

111-25020-15=-27.6

8-25025-15=-24.2

0-25030-15=-16.66

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1. Determina si la producción de una empresa en cierto periodo de tiempo es continua o 

discontinua a partir de la siguiente función que lo expresa cuando x=2 

x2 − 1 x2 + 7x − 8  a=2

a) Se verifica la primera condición de continuidad al evaluar f(a) 

b) Se verifica la segunda condición al evaluar f(x) 

c) Se verifica la tercera condición al comprobar que f(x) = f(a) 

GRÁFICAS:

 2. Dada que en una fábrica de producción de zapatos se cumple con la función x2+1 x+3 determine si la producción es continua o discontinua a partir de la función dada, cuando x=3

a) Se verifica la primera condición de continuidad al evaluar f(a). 

b) Se verifica la segunda condición al evaluar f(x) . 

c) Se verifica la tercera condición al comprobar que f(x) = f(a)

por lo tanto x=3 es continua. 

4) Puesto que la función está compuesta por un polinomio y una raíz cuyo radicando es siempre no negativo, la función es continua en los intervalos de definición. El único punto cuya continuidad debemos estudiar es x = -1 

● Calculamos los límites laterales en dicho punto. 

● Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite de la función en dicho punto.

● Con lo que no puede cumplirse la definición de continuidad... 

● Así pues, la función es continua excepto en dicho punto. 

4. Determina si lleva una continuidad o discontinuidad un negocio de papelería que lleva cierto periodo vendiendo confeti para los alumnos de una escuela cercana a ella a partir de la siguiente función:

2. Realizamos el límite de la función cuando x es igual a 2, lo que nos permitirá verificar que cumple con la segunda condición de continuidad. 

a)Factorizamos a la función para poder dividir términos semejantes. 

b) Sustituimos a “x”. y resolvemos. 

3. Verificamos si el valor de la función es igual al valor del límite;

a) Si ambos valores son iguales significa que la función cumplio con la tercer condición de continuidad. 

4. Graficamos

 

Por lo tanto la función es continua cuando x=2 

5.Las ganancias mensuales de un empresario (en millones) se ven reflejadas mediante la ecuación x2 − 2 hasta el mes 4 en el cual realiza una reinversión y ahora sus ganancias se verán determinadas mediante la ecuación x2 + 2 . Determina la continuidad de la función. 

1.- Primero resolvemos la función para ver si existe. 

2.-Después analizamos y mediante la comparación a los dos límites de las ecuaciones proporcionadas después de desarrollarlas mediante la sustitución directa. 

3.- Al ver que no coinciden quiere decir de forma algebraica que la función es discontinua. 

4.- Graficamos par comprobar y observamos la fragmentación de la función, por lo cual es de salto. 

FISICA

Velocidad instantánea

1. Un ave va volando de una ciudad a otra a una velocidad de 44 m/s, su distancia en metros después de cierto tiempo puede calcularse con la expresión: y= 44t - 8t2

¿Cuál es su velocidad instantánea cuando t= 5 segundos?

SOLUCIÓN:

• Se establecen las funciones a utilizar: Velocidad promedio= df-ditf-ti
• Se sustituyen los valores en la expresión para encontrar el primer punto (P): y= 44(5)- 8(5)2= 20

P (5, 20)

Q (t, 44t - 8t2)

• Se plantea la expresión con los puntos y la fórmula para la velocidad promedio, se factoriza, elimina y se sustituye finalmente.

Vi= 44t - 8t2-20t-5

Vi= 411t - 2t2-5t-5

Vi= 4 -2t+1(t-5)t-5

Vi= 4 -2t+1

Vi= 4(-2(5)+1)

Vi= -36

R= La velocidad instantánea del ave es de -36 m/s

2. Supongamos que un ciclista se encuentra en una competencia, recorriendo un tramo de ruta recta desde un pueblo hasta un lago que se encuentra a 170 km ( esta situación es del todo sencilla: la bicicleta siempre avanza!! ). Transcurridas 3 horas de iniciada la carrera observa un puesto de artesanías y quiere saber a qué velocidad circulaba en ese instante, llamémoslo a partir de los siguientes registros que ha tomado:

t (tiempo en horas)	0	1	2	3	4
s (distancia en km)	0	10	40	90	160

(3,90) (2,40)msec=40-902-3=-50-1=50

(3,90) (160,4) msec=160-904-3=701=70

(3,90) (0,0)msec=0-900-3=-90-3=30

mtan=50+702=1202=60

3.- Programa de seguridad alimentaria, elaborado a base de códigos y algoritmos con softwares de programación.

Se determinó realizar este programa elaborado a base de un software de programación. A causa de que los apoyos no son repartidos de forma equitativa y se observa que personas de escasos o incluso nulos recursos no reciben ningún tipo de apoyo y otros de menores necesidades tienen uno o más apoyos de forma innecesaria.
Para esto se realizará un censo en la localidad Rancho San Vicente, la cual es una de las comunidades más pobres que se localiza en las orillas del municipio de Atlacomulco dentro del Estado de México. El censo consiste en la recolección de datos de los habitantes de este lugar, ya que muchos de ellos no tienen la posibilidad de un acceso a algún aparato electrónico, así se juntan los datos y se ingresan dentro del programa que va determinar por medio de un sondeo quiénes sí requieren un apoyo alimenticio con base a sus datos ingresados.
La problemática de la alimentación dentro de la sociedad se manejara con la ayuda y participación de las personas adecuadas para llevar un adecuado sistema de control acerca de quien recibe apoyos o no, para que de esta manera el reparto del mismo sea equitativo para todos y todas, además se manejara con la ayuda del software creado para esta función en especial. 

MODELO MATEMÁTICO: 

Un modelo matemático es una construcción matemática abstracta y simplificada relacionada con una parte de la realidad y creada para un propósito particular. Así, por ejemplo, un gráfico, una función o una ecuación pueden ser modelos matemáticos de una situación específica. Otra definición menciona que es aquel que emplea un tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

Índice de marginación
La Marginación es un fenómeno multidimensional que considera la exclusión de la población al proceso de desarrollo y al disfrute de sus beneficios. la exclusión a una situación social de desventaja económica, profesional, política o de estatus social, producida por la dificultad que una persona o grupo tiene para integrarse a algunos de los sistemas de funcionamiento social (integración social). El índice de Marginación (IM) es una medida-resumen que permite diferenciar entidades federativas y municipios de acuerdo con las carencias que padece la población, como resultado de la falta de acceso a la educación, la residencia en viviendas inadecuadas, la percepción de ingresos monetarios insuficientes y las relacionadas con la residencia en localidades pequeñas (CONAPO, 2018a). El cálculo del IM involucra la construcción de indicadores de carencias o déficit en Educación, Vivienda, Ingresos monetarios y en la Distribución de la población. El IM se calcula utilizando el procedimiento estadístico multivariado llamado Análisis de Componentes Principales. Conceptualmente, este procedimiento es compatible con la naturaleza multidimensional de la Marginación. Técnicamente, transforma un conjunto de variables correlacionadas en otro no correlacionado, de manera que la primera componente principal formada explica tanta variabilidad de los datos como sea posible (Ávila J. et al., 2001). En razón de lo anterior, el IM equivale a la primera componente estandarizada resultante del análisis. Su expresión algebraica es como sigue (CONAPO, 2018a):

Donde:
Yi1 = Valor de la unidad de análisis i en la componente principal estandarizada 1 (primera componente principal)
cj = Ponderador del indicador estandarizado j
Zij = Indicador estandarizado j de la unidad de análisis i
IMzi = Valor del Índice de Marginación de la unidad de análisis i
i = 1, … 32 en el caso de que las unidades de análisis sean las entidades federativas, o bien, i = 1, … el número total de municipios que exista en cada año de referencia, cuando las unidades de análisis sean los municipios.
j = 1, … 9. Se refiere a los nueve indicadores socioeconómicos seleccionados para el análisis de componentes principales.

4.- Relación de la problemática con el Cálculo Diferencial

En un sistema de cómputo el cálculo diferencial sirve para cualquier problema que tenga que ver con variación del tiempo, velocidad y volumen, en este caso sería la cantidad de personas en situación de pobreza y la cantidad de beneficiados con el proyecto en un determinado tiempo, también nos permite representar de manera gráfica los resultados obtenidos después de realizar el proyecto. Dentro del desarrollo del software se aplican casos matemáticos constantemente para resolver problemas y optimizar mediante fórmulas el código de programación, esto nos permite mejorar la lógica y el raciocinio para realizar algoritmos o métodos que solucionan situaciones complejas.